Родился 6 сентября 1923 года в городе Калуге, в семье рабочего. С 1930 года жил в Воронеже. Окончил 8 классов средней школы в 1940 году. Работал грузчиком заготконторы, одновременно учился в Воронежском аэроклубе.
В Красной Армии с декабря 1940 года. Окончил Батайское военное авиационное училище лётчиков имени А. К. Серова в 1941 году. В 1941—1942 годах — пилот 16-го и 27-го запасных авиационных полков (Приволжский и Архангельский военные округа).
Участник Великой Отечественной войны с апреля 1942 года. Весь боевой путь прошёл в рядах 196-го истребительного авиационного полка: лётчик, старший лётчик, командир звена, с ноября 1944 — заместитель командира авиационной эскадрильи. Полк воевал в составе 13-й воздушной армии на Ленинградском фронте, с сентября 1944 года — в 7-й воздушной армии на Карельском фронте.
Капитан Бабаев А. И. к концу войны[1] совершил 260 боевых вылетов, провёл 48 воздушных боёв, в которых сбил лично 9 и в группе 1 самолёт противника.
После окончания войны продолжал службу в Вооружённых силах СССР. В 1947 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы ВВС в Липецке. С 1948 года командовал эскадрильей в родном 196-м истребительном авиационном полку, с 1950 — в 274-м истребительном авиационном полку Московского военного округа, вскоре стал заместителем командира этого полка. Успешно осваивал реактивную авиационную технику.
С мая 1951 года — командир 234-го гвардейского истребительного авиационного полка в Московском военном округе. С 1954 года — заместитель командира 9-й истребительной авиационной дивизии. В 1958 году окончил Военной академии Генерального штаба Вооружённых Сил СССР. С декабря 1958 года командовал 126-й истребительной авиационной дивизией в 16-й воздушной армии Группы советских войск в Германии. В 1963—1965 годах — заместитель командующего по боевой подготовке, а в 1965—1967 годах — 1-й заместитель командующего 24-й воздушной армией (ГСВГ). В 1967—1968 годах — 1-й заместитель командующего 26-й воздушной армией (Белорусский военный округ). С апреля 1968 года по август 1973 года — командующий 76-й воздушной армией в Ленинградском военном округе. С 1973 по 1978 год — командующий 16-й воздушной армией в ГСВГ.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 февраля 1978 года, за личное мужество и отвагу, проявленные в период Великой Отечественной войны, высокие результаты в боевой подготовке войск, освоении сложной боевой техники и в связи с 60-летием Советской Армии и Военно-Морского Флота, генерал-полковнику авиации Бабаеву Александру Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11288).
С сентября 1978 года по апрель 1980 года вновь командовал 76-й воздушной армией. После её упразднения, с апреля 1980 года по январь 1985 года — командующий ВВС Ленинградского военного округа. С января 1985 года — консультант факультета подготовки врачей для ВВС в Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова.
Депутат Верховного Совета РСФСР 9-го созыва (1975—1980). Жил в Ленинграде.
Умер Александр Иванович 22 мая 1985 года. Похоронен на Богословском кладбище в Санкт-Петербурге.
